MATEMATICA - Sequências e progressões

Quantos são os números inteiros pares e múltiplos de 3, entre 230 e 670?

Numa P.A. em que o primeiro termo é 4 e a razão é 5, o 100º termo é:

Utilizando palitos de fósforos de igual comprimento, construiu-se uma sequência de figuras composta de triângulos equiláteros congruentes entre si, conforme indicado a seguir.

Mantendo-se o padrão de construção, a quantidade de palitos necessária para construir a décima figura é

(UPE) Sandra iniciou uma sequência de figuras formadas por quadrados nas cores branco e cinza, sendo todos iguais. A seguir, temos as três primeiras figuras.

Dando continuidade à montagem de figuras com esse mesmo padrão, quantos quadrados brancos serão necessários para Sandra construir a décima figura?

(Unifesp) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular.

Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

Se T_n representa o n-ésimo número triangular, então T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 6, T₄ = 10, e assim por diante. Dado que Tnsatisfaz a relação T_n = T_{n - 1} + n, para n = 2, 3, 4, ..., pode-se deduzir que T₁₀₀ é igual a:

Um investidor pretende aplicar seu dinheiro em duas etapas: 

I.        Todo dinheiro será investido a curto prazo,

II.       Depois, apenas os juros do rendimento a longo prazo.

Sabendo-se que deixará seu dinheiro rendendo 6 meses a uma taxa de 5% a.m. a curto prazo e por dois anos a uma taxa de 2% a.m. no prazo final; ambos no modelo de juros compostos. Assim, se ele pretende obter um montante de R$ 13.685,00, nessa segunda etapa ele deverá investir inicialmente:

(Dados: 1,02²⁴ = 1,61; 1,02⁶ = 1,13; 1,05²⁴ = 3,32; 1,05⁶ = 1,34)

(Mackenzie-SP) A média aritmética de 20 números em progressão aritmética é 40. Retirados o primeiro e o último termos da progressão, a média aritmética dos restantes será:

(Unicamp-SP) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico.

Observando a figura, podemos concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém:

(Unimontes-MG) Em uma progressão aritmética, a soma do primeiro termo com o quarto é 16, e a soma do terceiro com o quinto é 22. O primeiro termo dessa progressão é:

Observe a seguinte sequência de figuras.

Essa figura é composta sempre por quadrados exatamente congruentes (mesmas dimensões), em dois tons de cinza. Se esse padrão se mantiver, na 10^a figura, a razão entre a área clara e a área escura, nessa ordem, nessa figura, será igual a:

(Ifal) Em uma caixa há 1 000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim, sucessivamente, na mesma razão. Após a 15^a retirada, o número de bolinhas que sobrará na caixa é:

(Uece) Se a sequência de números reais (x_n) é definida por , então a raiz quadrada positiva de x₁₃ é igual a:

(PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de x é:

(Unifor-CE) Para a confecção de uma árvore de Natal estilizada, utilizou-se uma prancha de madeira, em forma triangular, onde foram encaixadas lâmpadas enfileiradas conforme esquematizado na figura abaixo.

A quantidade de lâmpadas utilizadas para a confecção desta árvore foi:

(ITA-SP) A progressão geométrica infinita (a₁, a₂, ..., a_n, ...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita (a₁, a₆, ..., a_{5n + 1}, ...) tem soma 8 e a progressão infinita (a₅, a₁₀, ..., a_5n, ...) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (a₁, a₂, ..., a_n, ...).

(PUC-Campinas-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) de um adulto é uma medida utilizada para verificar se uma pessoa está ou não com o peso considerado saudável. Ele é obtido dividindo-se o peso da pessoa, em quilogramas, pelo quadrado de sua altura, em metros. 

A tabela abaixo é utilizada pela Organização Mundial de Saúde.

Adaptado de <www.calculoimc.com.br>.
Um homem de 1,7 m de altura estava com sobrepeso e resolveu fazer a dieta de carboidratos. Curiosamente, seu peso foi diminuindo de maneira uniforme: 300 g ao fim de cada semana de dieta. Se, ao iniciá-la, ele pesava 84 kg, o número de semanas que ele levou para alcançar a faixa de IMC de peso normal foi:

Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 10 e 28 de modo que a razão da P.A. seja 3?

(Unesp) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2 048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21^o aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 2¹⁰ = 1 024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de:

(Unifesp) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21^o dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6 000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:

(Uerj) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37.

Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:

(Fuvest-SP) Os números a₁, a₂, a₃ formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a₁ + 3, a₂ - 3, a₃ - 3 estejam em progressão geométrica.

Dado ainda que a₁ > 0 e a₂ = 2, conclui-se que r é igual a:

(UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história.

Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de:

Qual das sequências a seguir representa uma progressão aritmética crescente?

Observe a seguinte sequência de figuras.

 Seguindo-se sempre esse padrão, a 2.017^a figura deve ser:

Viviane começou a praticar corrida e montou um programa de segunda a sábado. Na segunda-feira e na terça-feira, correu distâncias inteiras, em quilômetros. Em cada um dos dias seguintes, correu tantos quilômetros quanto correu nos dois dias anteriores àquele. Sabendo que Viviane correu 16 quilômetros no sábado, quantos quilômetros ela correu na sexta-feira?